Algbre pour la licence 3. Groupes, anneaux, corps by Jean-Jacques Risler

By Jean-Jacques Risler

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0 ... 1 31 (4) α étant à la place (j, j ) (sur la j -ième ligne et la j -ième colonne), β à la place (j, k), γ à la place (k, j) et δ à la place (k, k). Notons l i la ligne d’indice i d’une matrice M . 13. La multiplication à gauche d’une matrice M ∈ M n,m (A) par la matrice Lj,k remplace lj et lk par αlj + βlk et γlj + δlk respectivement. De plus, det Lj,k = αδ − βγ . Démonstration. Exercice laissé au lecteur sur la multiplication des matrices. 14. Soit M ∈ Mn,m (A). Il existe alors une matrice L ∈ SL n (A) © Dunod.

Cn Son polynôme caractéristique est donc le produit des polynômes caractéristiques des matrices Ci : on a χu (X) = q+1 i n Pi (X) = 1 i n Pi (X). Nous dirons qu’une base (e) vérifiant la propriété précédente est une base adaptée à u. 14. (« Théorème de Cayley-Hamilton ») Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K . Alors : 1. qu (X)|χu (X), 2. ces deux polynômes ont les mêmes facteurs irréductibles. 15. L’espace Eu est cyclique si et seulement si χ u (X) = qu (X).

Fn ) de An et des éléments ai ∈ A, 1 i n tels que : a1 | a2 | · · · | an , les (ai fi ) tels que ai = 0 forment une base de N. De plus, la suite des idéaux (a i ) satisfaisant ces conditions est unique (les (a i ) ne dépendent que de N et non de son plongement dans A n ). Démonstration. 28) ; soit (g1 , . . , gk ) un système de générateurs de N avec m k n. En écrivant les vecteurs gi (développés sur la base canonique de A n ) en colonnes, et en complétant par n − k colonnes de 0 placées au début, on obtient une matrice M ∈ M n (A) (« matrice de passage » dans le cas où m = n).

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