A Biordered Set Representation of Regular Semigroups by Yu B.J., Xu M.

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Beweis. 2 ist ka + ka = (k + k)a = (2k)a. Hier endet Euklids Argumentation. 2. l(ka) = (l − 1)(ka) + ka = (l − 1)k a + ka = (lk)a. Beim n¨achsten Satz spielen die beiden Gr¨ oßenbereiche wirklich eine wesentliche Rolle. 28 Kapitel I. 4. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche. Ferner seien a, b ∈ P , c, d ∈ Q und k, l ∈ N. Ist a : b = c : d, so ist auch ka : lb = kc : ld. Beweis. Setze e := ka, g := lb, f := kc und h := ld. Es ist zu zeigen, dass e : g = f : h ist. 3 folgt me = m(ka) = (mk)a mf = m(kc) = (mk)c ng = n(lb) = (nl)b nh = n(ld) = (nl)d.

Dieses wird ” hier wie auch in Buch VII bei der Formulierung von S¨ atzen benutzt, die uralt zu sein scheinen, und die zum Teil w¨ortlich in Buch V u ¨bernommen wurden, wobei nur das Wort Zahl durch das Wort Gr¨ oße ersetzt und die Adjektive in Kasus und Numerus angepasst wurden. Zahl ist im Griechischen ein Maskulinum, w¨ ahrend Gr¨ oße ein Neutrum ist. Ausf¨ uhrliches zu diesem Thema in Szab´o 1969, insb. S. 208ﬀ. 7. Gibt es ein Paar nat¨ urlicher Zahlen m, n mit ma > nb und mc ≤ nd, so gilt per deﬁnitionem a : b > c : d.

Ist (a + b) : b = (c + d) : d, so ist a : b = c : d. Beweis. Es seien m, n ∈ N. 2 m(a + b) = ma + mb > nb + mb = (m + n)b. Wegen (a + b) : b = (c + d) : d folgt mc + md = m(c + d) > (m + n)d = md + nd. Hieraus folgt wiederum mc > nd. Ebenso zeigt man, dass aus ma = nb die Gleichung mc = nd und aus ma < nb die Ungleichung mc < nd folgt. Also ist a : b = c : d. Die Umkehrung gilt nat¨ urlich auch. 18. Es seien P und Q Gr¨ oßenbereiche und es gelte a, b ∈ P und c, d ∈ Q. Ist dann a : b = c : d, so ist auch (a + b) : b = (c + d) : d.